Ratkaise 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Vähennä 5 luvusta -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 47 ja c luvulla -237 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Korota 47 neliöön.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Lisää 2209 lukuun 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -47 lukuun \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{5053} luvusta -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Lisää 232 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Kun luku -232 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Vähennä -232 luvusta 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Jaa 237 luvulla 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Jaa \frac{47}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{47}{6}. Lisää sitten \frac{47}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{47}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Lisää 79 lukuun \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Jaa n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Sievennä.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Vähennä \frac{47}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$