Ratkaise 3m^2+4m+1=5/9

$$3 m ^ { 2 } + 4 m + 1 = \frac { 5 } { 9 }$$

Ratkaise muuttujan m suhteen

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}\approx -0,122335613$$

$$m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}\approx -1,210997721$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3m^{2}+4m+1=\frac{5}{9}$$

Vähennä \frac{5}{9} yhtälön molemmilta puolilta.

$$3m^{2}+4m+1-\frac{5}{9}=\frac{5}{9}-\frac{5}{9}$$

Kun luku \frac{5}{9} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3m^{2}+4m+1-\frac{5}{9}=0$$

Vähennä \frac{5}{9} luvusta 1.

$$3m^{2}+4m+\frac{4}{9}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 4 ja c luvulla \frac{4}{9} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

Korota 4 neliöön.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-12\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja \frac{4}{9}.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-\frac{16}{3}}}{2\times 3}$$

Lisää 16 lukuun -\frac{16}{3}.

$$m=\frac{-4±\sqrt{\frac{32}{3}}}{2\times 3}$$

Ota luvun \frac{32}{3} neliöjuuri.

$$m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun \frac{4\sqrt{6}}{3}.

$$m=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}-4}{6}$$

Jaa -4+\frac{4\sqrt{6}}{3} luvulla 6.

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{4\sqrt{6}}{3} luvusta -4.

$$m=\frac{-\frac{4\sqrt{6}}{3}-4}{6}$$

Jaa -4-\frac{4\sqrt{6}}{3} luvulla 6.

$$m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3} m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3m^{2}+4m+1=\frac{5}{9}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3m^{2}+4m+1-1=\frac{5}{9}-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3m^{2}+4m=\frac{5}{9}-1$$

Vähennä 1 luvusta \frac{5}{9}.

$$3m^{2}+4m=-\frac{4}{9}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3m^{2}+4m}{3}=-\frac{\frac{4}{9}}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$m^{2}+\frac{4}{3}m=-\frac{\frac{4}{9}}{3}$$

Jaa -\frac{4}{9} luvulla 3.

$$m^{2}+\frac{4}{3}m=-\frac{4}{27}$$

Jaa \frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{3}. Lisää sitten \frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{27}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}=-\frac{4}{27}+\frac{4}{9}$$

Lisää -\frac{4}{27} lukuun \frac{4}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}=\frac{8}{27}$$

Jaa m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{27}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(m+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{27}}$$

Sievennä.

$$m+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{9} m+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{6}}{9}$$

Vähennä \frac{2}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3} m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$