Ratkaise 3k-2h=-14text{and}2k-5h=-13

$$3 k - 2 h = - 14 \text { and } 2 k - 5 h = - 13$$

Ratkaise muuttujan k, h suhteen

$$k=-4$$

$$h=1$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$3k-2h=-14,2k-5h=-13$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se k:n suhteen eristämällä k yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$3k-2h=-14$$

Lisää 2h yhtälön kummallekin puolelle.

$$3k=2h-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$k=\frac{1}{3}\left(2h-14\right)$$

Kerro \frac{1}{3} ja -14+2h.

$$k=\frac{2}{3}h-\frac{14}{3}$$

Korvaa k arvolla \frac{-14+2h}{3} toisessa yhtälössä, 2k-5h=-13.

$$2\left(\frac{2}{3}h-\frac{14}{3}\right)-5h=-13$$

Kerro 2 ja \frac{-14+2h}{3}.

$$\frac{4}{3}h-\frac{28}{3}-5h=-13$$

Lisää \frac{4h}{3} lukuun -5h.

$$-\frac{11}{3}h-\frac{28}{3}=-13$$

Lisää \frac{28}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$-\frac{11}{3}h=-\frac{11}{3}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{11}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$h=1$$

Korvaa h arvolla 1 yhtälössä k=\frac{2}{3}h-\frac{14}{3}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista k:n suoraan.

$$k=\frac{2-14}{3}$$

Lisää -\frac{14}{3} lukuun \frac{2}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$k=-4$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$k=-4,h=1$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3k-2h=-14,2k-5h=-13$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-13\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\left(-14\right)-\frac{2}{11}\left(-13\right)\\\frac{2}{11}\left(-14\right)-\frac{3}{11}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}k\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot k ja h.

$$k=-4,h=1$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3k-2h=-14,2k-5h=-13$$

Jos haluat saada luvut 3k ja 2k yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$2\times 3k+2\left(-2\right)h=2\left(-14\right),3\times 2k+3\left(-5\right)h=3\left(-13\right)$$

Sievennä.

$$6k-4h=-28,6k-15h=-39$$

Vähennä 6k-15h=-39 lausekkeesta 6k-4h=-28 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$6k-6k-4h+15h=-28+39$$

Lisää 6k lukuun -6k. Termit 6k ja -6k kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-4h+15h=-28+39$$

Lisää -4h lukuun 15h.

$$11h=-28+39$$

Lisää -28 lukuun 39.

$$11h=11$$

Jaa molemmat puolet luvulla 11.

$$h=1$$

Korvaa h arvolla 1 yhtälössä 2k-5h=-13. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista k:n suoraan.

$$2k-5=-13$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2k=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$k=-4$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$k=-4,h=1$$