Ratkaise 3f^2+3f-18=0

$$3 f ^ { 2 } + 3 f - 18 = 0$$

Ratkaise muuttujan f suhteen

$$f=-3$$

$$f=2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$f^{2}+f-6=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon f^{2}+af+bf-6. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=1 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -6.

$$-1,6 -2,3$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 1.

$$a=-2 b=3$$

Kirjoita \left(f^{2}-2f\right)+\left(3f-6\right) uudelleen muodossa f^{2}+f-6.

$$\left(f^{2}-2f\right)+\left(3f-6\right)$$

Jaa f toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$f\left(f-2\right)+3\left(f-2\right)$$

Jaa yleinen termi f-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(f-2\right)\left(f+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista f-2=0 ja f+3=0.

$$f=2 f=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3f^{2}+3f-18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 3 ja c luvulla -18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Korota 3 neliöön.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -18.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9+216}}{2\times 3}$$

Lisää 9 lukuun 216.

$$f=\frac{-3±\sqrt{225}}{2\times 3}$$

Ota luvun 225 neliöjuuri.

$$f=\frac{-3±15}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$f=\frac{-3±15}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö f=\frac{-3±15}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 15.

$$f=\frac{12}{6}$$

Jaa 12 luvulla 6.

$$f=2$$

Ratkaise nyt yhtälö f=\frac{-3±15}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 15 luvusta -3.

$$f=-\frac{18}{6}$$

Jaa -18 luvulla 6.

$$f=-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$f=2 f=-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3f^{2}+3f-18=0$$

Lisää 18 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3f^{2}+3f-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Kun luku -18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3f^{2}+3f=-\left(-18\right)$$

Vähennä -18 luvusta 0.

$$3f^{2}+3f=18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3f^{2}+3f}{3}=\frac{18}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$f^{2}+\frac{3}{3}f=\frac{18}{3}$$

Jaa 3 luvulla 3.

$$f^{2}+f=\frac{18}{3}$$

Jaa 18 luvulla 3.

$$f^{2}+f=6$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$f^{2}+f+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Lisää 6 lukuun \frac{1}{4}.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Jaa f^{2}+f+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sievennä.

$$f+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} f+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$f=2 f=-3$$