Ratkaise 3b^2-8b-15=0

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan b suhteen

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -8 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Korota -8 neliöön.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -15.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Lisää 64 lukuun 180.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Ota luvun 244 neliöjuuri.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2\sqrt{61}.

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Jaa 8+2\sqrt{61} luvulla 6.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{61} luvusta 8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Jaa 8-2\sqrt{61} luvulla 6.

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Kun luku -15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

Vähennä -15 luvusta 0.

$$3b^{2}-8b=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

Jaa 15 luvulla 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

Jaa -\frac{8}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{3}. Lisää sitten -\frac{4}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Lisää 5 lukuun \frac{16}{9}.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Jaa b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Sievennä.

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Lisää \frac{4}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$