Ratkaise 3(x-2)(x-3)=-8/9

$$3 ( x - 2 ) ( x - 3 ) = - \frac { 8 } { 9 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{5}{2}\approx 2,5+0,215165741i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{5}{2}\approx 2,5-0,215165741i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 3 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(3x-6\right)\left(x-3\right)=-\frac{8}{9}$$

Laske lukujen 3x-6 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}-15x+18=-\frac{8}{9}$$

Lisää \frac{8}{9} molemmille puolille.

$$3x^{2}-15x+18+\frac{8}{9}=0$$

Selvitä \frac{170}{9} laskemalla yhteen 18 ja \frac{8}{9}.

$$3x^{2}-15x+\frac{170}{9}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -15 ja c luvulla \frac{170}{9} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\times \frac{170}{9}}}{2\times 3}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\times \frac{170}{9}}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\times \frac{170}{9}}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja \frac{170}{9}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-\frac{680}{3}}}{2\times 3}$$

Lisää 225 lukuun -\frac{680}{3}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-\frac{5}{3}}}{2\times 3}$$

Ota luvun -\frac{5}{3} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\frac{\sqrt{15}i}{3}}{2\times 3}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±\frac{\sqrt{15}i}{3}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{15±\frac{\sqrt{15}i}{3}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\frac{\sqrt{15}i}{3}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun \frac{i\sqrt{15}}{3}.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{15}i}{3}+15}{6}$$

Jaa 15+\frac{i\sqrt{15}}{3} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\frac{\sqrt{15}i}{3}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{i\sqrt{15}}{3} luvusta 15.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{15}i}{3}+15}{6}$$

Jaa 15-\frac{i\sqrt{15}}{3} luvulla 6.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 3 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(3x-6\right)\left(x-3\right)=-\frac{8}{9}$$

Laske lukujen 3x-6 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}-15x+18=-\frac{8}{9}$$

Vähennä 18 molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-15x=-\frac{8}{9}-18$$

Vähennä 18 luvusta -\frac{8}{9} saadaksesi tuloksen -\frac{170}{9}.

$$3x^{2}-15x=-\frac{170}{9}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=-\frac{\frac{170}{9}}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=-\frac{\frac{170}{9}}{3}$$

Jaa -15 luvulla 3.

$$x^{2}-5x=-\frac{\frac{170}{9}}{3}$$

Jaa -\frac{170}{9} luvulla 3.

$$x^{2}-5x=-\frac{170}{27}$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{170}{27}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{170}{27}+\frac{25}{4}$$

Lisää -\frac{170}{27} lukuun \frac{25}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{5}{108}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{108}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{108}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{18} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{18}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{15}i}{18}+\frac{5}{2}$$