Ratkaise 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon z^{2}+az+bz+2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=1 b=2$$

Kirjoita \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right) uudelleen muodossa z^{2}+3z+2.

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Jaa z toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Jaa yleinen termi z+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista z+1=0 ja z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 9 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Korota 9 neliöön.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Lisää 81 lukuun -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-9±3}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Jaa -6 luvulla 6.

$$z=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-9±3}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Jaa -12 luvulla 6.

$$z=-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=-1 z=-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Jaa 9 luvulla 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Jaa -6 luvulla 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Lisää -2 lukuun \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Jaa z^{2}+3z+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$z=-1 z=-2$$