Ratkaise 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Jaa tekijöihin

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ratkaisemalla yhtälö, kun se on yhtä suuri kuin 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Rationaalijuurilauseen mukaan kaikki polynomin rationaalijuuret ovat muotoa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakiotermin -40 ja q jakaa johtavan kertoimen 3. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-2$$

Tekijöihin jakamisessa nollakohtien avulla x-k on polynomin tekijä kunkin juuren k osalta. Jaa 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 luvulla x+2, jolloin ratkaisuksi tulee 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Saa tulos ratkaisemalla yhtälö, kun se on yhtä suuri kuin 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Rationaalijuurilauseen mukaan kaikki polynomin rationaalijuuret ovat muotoa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakiotermin -20 ja q jakaa johtavan kertoimen 3. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=\frac{5}{3}$$

Tekijöihin jakamisessa nollakohtien avulla x-k on polynomin tekijä kunkin juuren k osalta. Jaa 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 luvulla 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}+4. Saa tulos ratkaisemalla yhtälö, kun se on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}+4=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 0 tilalle b ja muuttujan 4 tilalle c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Polynomia x^{2}+4 ei voi jakaa tekijöihin, koska sillä ei ole rationaalijuuria.

$$x^{2}+4$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke uudelleen käyttämällä saatuja juuria.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Laske

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$