Ratkaise 3x^2-6x+6=0

$$3 { x }^{ 2 } -6x+6=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=1+i$$

$$x=1-i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-6x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -6 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-72}}{2\times 3}$$

Lisää 36 lukuun -72.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-36}}{2\times 3}$$

Ota luvun -36 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±6i}{2\times 3}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±6i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{6±6i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±6i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 6i.

$$x=\frac{6+6i}{6}$$

Jaa 6+6i luvulla 6.

$$x=1+i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±6i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6i luvusta 6.

$$x=\frac{6-6i}{6}$$

Jaa 6-6i luvulla 6.

$$x=1-i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1+i x=1-i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-6x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-6x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-6x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=-\frac{6}{3}$$

Jaa -6 luvulla 3.

$$x^{2}-2x=-\frac{6}{3}$$

Jaa -6 luvulla 3.

$$x^{2}-2x=-2$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-2+1$$

Lisää -2 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=-1$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=-1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Sievennä.

$$x-1=i x-1=-i$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1+i x=1-i$$