Ratkaise 3x^2-6x+1=0

$$3 { x }^{ 2 } -6x+1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 1,816496581$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 0,183503419$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-6x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -6 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12}}{2\times 3}$$

Lisää 36 lukuun -12.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{24}}{2\times 3}$$

Ota luvun 24 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{6}}{2\times 3}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{6}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2\sqrt{6}.

$$x=\frac{2\sqrt{6}+6}{6}$$

Jaa 6+2\sqrt{6} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{6} luvusta 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{6}}{6}$$

Jaa 6-2\sqrt{6} luvulla 6.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-6x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-6x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-6x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=-\frac{1}{3}$$

Jaa -6 luvulla 3.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{3}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{3}+1$$

Lisää -\frac{1}{3} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{2}{3}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{2}{3}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{6}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$