Ratkaise 3x^2-5x-4=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-4=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{73} + 5}{6} \approx 2,257333958$$

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}\approx -0,590667291$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -5 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+48}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun 48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{73}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{73}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{73} luvusta 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$3x^{2}-5x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{4}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{3}$$

Jaa -\frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{6}. Lisää sitten -\frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää \frac{4}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{73}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{73}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{73}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{73}}{6}$$

Lisää \frac{5}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$