Ratkaise 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-372. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-36 b=31$$

Kirjoita \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-5x-372.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 31.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Jaa yleinen termi x-12 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-12=0 ja 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -5 ja c luvulla -372 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Ota luvun 4489 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±67}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Jaa 72 luvulla 6.

$$x=12$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±67}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 67 luvusta 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-62}{6} luvulla 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Lisää 372 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Kun luku -372 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Vähennä -372 luvusta 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Jaa 372 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Jaa -\frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{6}. Lisää sitten -\frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Lisää 124 lukuun \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Lisää \frac{5}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$