Ratkaise 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8,333333333$$

$$x=10$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-250. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-30 b=25$$

Kirjoita \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-5x-250.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 25.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Jaa yleinen termi x-10 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-10=0 ja 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -5 ja c luvulla -250 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Ota luvun 3025 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±55}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

Jaa 60 luvulla 6.

$$x=10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±55}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 55 luvusta 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-50}{6} luvulla 2.

$$x=-\frac{25}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Lisää 250 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

Kun luku -250 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

Vähennä -250 luvusta 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Jaa -\frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{6}. Lisää sitten -\frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää \frac{250}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Lisää \frac{5}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$