Ratkaise 3x^2-5x+2=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x+2=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=1$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx+2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=3\times 2=6$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-3 b=-2$$

Kirjoita \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-5x+2.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -2.

$$3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 3x-2=0.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -5 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun -24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 3}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±1}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{5±1}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±1}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 1.

$$x=\frac{6}{6}$$

Jaa 6 luvulla 6.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±1}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta 5.

$$x=\frac{4}{6}$$

Supista murtoluku \frac{4}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-5x+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-5x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Jaa -\frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{6}. Lisää sitten -\frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää -\frac{2}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Lisää \frac{5}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$