Ratkaise 3x^2-50x-26=0

$$3 { x }^{ 2 } -50x-26=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{703} + 25}{3} \approx 17,171382389$$

$$x=\frac{25-\sqrt{703}}{3}\approx -0,504715722$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-50x-26=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -50 ja c luvulla -26 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\times 3\left(-26\right)}}{2\times 3}$$

Korota -50 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\times 3\left(-26\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-12\left(-26\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -26.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+312}}{2\times 3}$$

Lisää 2500 lukuun 312.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2812}}{2\times 3}$$

Ota luvun 2812 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±2\sqrt{703}}{2\times 3}$$

Luvun -50 vastaluku on 50.

$$x=\frac{50±2\sqrt{703}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{50±2\sqrt{703}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{50±2\sqrt{703}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 50 lukuun 2\sqrt{703}.

$$x=\frac{2\sqrt{703}+50}{6}$$

Jaa 50+2\sqrt{703} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{703}+25}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{50±2\sqrt{703}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{703} luvusta 50.

$$x=\frac{50-2\sqrt{703}}{6}$$

Jaa 50-2\sqrt{703} luvulla 6.

$$x=\frac{25-\sqrt{703}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{703}+25}{3} x=\frac{25-\sqrt{703}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-50x-26=0$$

Lisää 26 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-50x-26-\left(-26\right)=-\left(-26\right)$$

Kun luku -26 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-50x=-\left(-26\right)$$

Vähennä -26 luvusta 0.

$$3x^{2}-50x=26$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-50x}{3}=\frac{26}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{50}{3}x=\frac{26}{3}$$

Jaa -\frac{50}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{25}{3}. Lisää sitten -\frac{25}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{50}{3}x+\left(-\frac{25}{3}\right)^{2}=\frac{26}{3}+\left(-\frac{25}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{25}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}=\frac{26}{3}+\frac{625}{9}$$

Lisää \frac{26}{3} lukuun \frac{625}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}=\frac{703}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{50}{3}x+\frac{625}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{3}\right)^{2}=\frac{703}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{703}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{25}{3}=\frac{\sqrt{703}}{3} x-\frac{25}{3}=-\frac{\sqrt{703}}{3}$$

Lisää \frac{25}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{703}+25}{3} x=\frac{25-\sqrt{703}}{3}$$