Ratkaise 3x^2-50x-1500=3800

$$3 { x }^{ 2 } -50x-1500 = 3800$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5 \sqrt{661} + 25}{3} \approx 51,183200441$$

$$x=\frac{25-5\sqrt{661}}{3}\approx -34,516533774$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-50x-1500=3800$$

Vähennä 3800 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-50x-1500-3800=3800-3800$$

Kun luku 3800 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-50x-1500-3800=0$$

Vähennä 3800 luvusta -1500.

$$3x^{2}-50x-5300=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -50 ja c luvulla -5300 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\times 3\left(-5300\right)}}{2\times 3}$$

Korota -50 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\times 3\left(-5300\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-12\left(-5300\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -5300.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+63600}}{2\times 3}$$

Lisää 2500 lukuun 63600.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{66100}}{2\times 3}$$

Ota luvun 66100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±10\sqrt{661}}{2\times 3}$$

Luvun -50 vastaluku on 50.

$$x=\frac{50±10\sqrt{661}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{50±10\sqrt{661}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{50±10\sqrt{661}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 50 lukuun 10\sqrt{661}.

$$x=\frac{10\sqrt{661}+50}{6}$$

Jaa 50+10\sqrt{661} luvulla 6.

$$x=\frac{5\sqrt{661}+25}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{50±10\sqrt{661}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{661} luvusta 50.

$$x=\frac{50-10\sqrt{661}}{6}$$

Jaa 50-10\sqrt{661} luvulla 6.

$$x=\frac{25-5\sqrt{661}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5\sqrt{661}+25}{3} x=\frac{25-5\sqrt{661}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-50x-1500=3800$$

Lisää 1500 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-50x-1500-\left(-1500\right)=3800-\left(-1500\right)$$

Kun luku -1500 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-50x=3800-\left(-1500\right)$$

Vähennä -1500 luvusta 3800.

$$3x^{2}-50x=5300$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-50x}{3}=\frac{5300}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{50}{3}x=\frac{5300}{3}$$

Jaa -\frac{50}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{25}{3}. Lisää sitten -\frac{25}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{50}{3}x+\left(-\frac{25}{3}\right)^{2}=\frac{5300}{3}+\left(-\frac{25}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{25}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}=\frac{5300}{3}+\frac{625}{9}$$

Lisää \frac{5300}{3} lukuun \frac{625}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}=\frac{16525}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{50}{3}x+\frac{625}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{3}\right)^{2}=\frac{16525}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16525}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{25}{3}=\frac{5\sqrt{661}}{3} x-\frac{25}{3}=-\frac{5\sqrt{661}}{3}$$

Lisää \frac{25}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5\sqrt{661}+25}{3} x=\frac{25-5\sqrt{661}}{3}$$