Ratkaise 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -4 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Lisää 16 lukuun 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Ota luvun 124 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Jaa 4+2\sqrt{31} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{31} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Jaa 4-2\sqrt{31} luvulla 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Jaa 9 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Jaa -\frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{3}. Lisää sitten -\frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Lisää 3 lukuun \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Lisää \frac{2}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$