Ratkaise 3x^2-4x+12=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x+12=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3}\approx 0,666666667+1,885618083i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}\approx 0,666666667-1,885618083i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-4x+12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -4 ja c luvulla 12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\times 12}}{2\times 3}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\times 12}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\times 12}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-144}}{2\times 3}$$

Lisää 16 lukuun -144.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-128}}{2\times 3}$$

Ota luvun -128 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{4+8\sqrt{2}i}{6}$$

Jaa 4+8i\sqrt{2} luvulla 6.

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±8\sqrt{2}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i\sqrt{2} luvusta 4.

$$x=\frac{-8\sqrt{2}i+4}{6}$$

Jaa 4-8i\sqrt{2} luvulla 6.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x+12=0$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-4x+12-12=-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-4x=-12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{12}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{12}{3}$$

Jaa -12 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-4$$

Jaa -\frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{3}. Lisää sitten -\frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-4+\frac{4}{9}$$

Lisää -4 lukuun \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{32}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{32}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{32}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{2}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{2}i}{3}$$

Lisää \frac{2}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+2}{3}$$