Ratkaise 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-60. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -31.

$$a=-36 b=5$$

Kirjoita \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-31x-60.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Jaa yleinen termi x-12 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-12=0 ja 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -31 ja c luvulla -60 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Korota -31 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Lisää 961 lukuun 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Ota luvun 1681 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Luvun -31 vastaluku on 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{31±41}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 31 lukuun 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Jaa 72 luvulla 6.

$$x=12$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{31±41}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 41 luvusta 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{6} luvulla 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Lisää 60 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Kun luku -60 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Vähennä -60 luvusta 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Jaa 60 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Jaa -\frac{31}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{31}{6}. Lisää sitten -\frac{31}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{31}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Lisää 20 lukuun \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Lisää \frac{31}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$