Ratkaise 3x^2-2x-5

$$3 { x }^{ 2 } -2x-5$$

Jaa tekijöihin

$$\left(3x-5\right)\left(x+1\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 3x^{2}+ax+bx-5. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-2 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -15.

$$1,-15 3,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -2.

$$a=-5 b=3$$

Kirjoita \left(3x^{2}-5x\right)+\left(3x-5\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-2x-5.

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(3x-5\right)$$

Ota x tekijäksi lausekkeessa 3x^{2}-5x.

$$x\left(3x-5\right)+3x-5$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 3x-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(3x-5\right)\left(x+1\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$3x^{2}-2x-5=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\times 3}$$

Lisää 4 lukuun 60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\times 3}$$

Ota luvun 64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\times 3}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±8}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{2±8}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±8}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 8.

$$x=\frac{10}{6}$$

Supista murtoluku \frac{10}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±8}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8 luvusta 2.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Jaa -6 luvulla 6.

$$x=-1$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{5}{3} kohteella x_{1} ja -1 kohteella x_{2}.

$$3x^{2}-2x-5=3\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$3x^{2}-2x-5=3\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(x+1\right)$$

Vähennä \frac{5}{3} luvusta x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$3x^{2}-2x-5=3\times \frac{3x-5}{3}\left(x+1\right)$$

Supista lausekkeiden 3 ja 3 suurin yhteinen tekijä 3.

$$3x^{2}-2x-5=\left(3x-5\right)\left(x+1\right)$$

Laske

$$\left(3x-5\right)\left(x+1\right)$$