Ratkaise 3x^2-15x=18

$$3 { x }^{ 2 } -15x=18$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x=6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 18 molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-6. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -6.

$$1,-6 2,-3$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-6 b=1$$

Kirjoita \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right) uudelleen muodossa x^{2}-5x-6.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Ota x tekijäksi lausekkeessa x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-15x=18$$

Vähennä 18 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-15x-18=18-18$$

Kun luku 18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -15 ja c luvulla -18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -18.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+216}}{2\times 3}$$

Lisää 225 lukuun 216.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Ota luvun 441 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±21}{2\times 3}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±21}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{15±21}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±21}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun 21.

$$x=\frac{36}{6}$$

Jaa 36 luvulla 6.

$$x=6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±21}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 21 luvusta 15.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Jaa -6 luvulla 6.

$$x=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6 x=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x=18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{18}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{18}{3}$$

Jaa -15 luvulla 3.

$$x^{2}-5x=\frac{18}{3}$$

Jaa 18 luvulla 3.

$$x^{2}-5x=6$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Lisää 6 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6 x=-1$$