Ratkaise 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-8. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -10.

$$a=-12 b=2$$

Kirjoita \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-10x-8.

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Ota 3x tekijäksi ensimmäisessä ja 2 toisessa ryhmässä.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-4 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-4=0 ja 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -10 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Lisää 100 lukuun 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±14}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Jaa 24 luvulla 6.

$$x=4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±14}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{6} luvulla 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Lisää 8 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Kun luku -8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Vähennä -8 luvusta 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Jaa -\frac{10}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{3}. Lisää sitten -\frac{5}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Lisää \frac{8}{3} lukuun \frac{25}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Lisää \frac{5}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$