Ratkaise 3x^2+9x+6=0

$$3 { x }^{ 2 } +9x+6=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x=-1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x^{2}+3x+2=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+2. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=1 b=2$$

Kirjoita \left(x^{2}+x\right)+\left(2x+2\right) uudelleen muodossa x^{2}+3x+2.

$$\left(x^{2}+x\right)+\left(2x+2\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 2 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x+1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+1=0 ja x+2=0.

$$x=-1 x=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+9x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 9 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 6.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Lisää 81 lukuun -72.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-9±3}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±3}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 3.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Jaa -6 luvulla 6.

$$x=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±3}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta -9.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Jaa -12 luvulla 6.

$$x=-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1 x=-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+9x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+9x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{6}{3}$$

Jaa 9 luvulla 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{6}{3}$$

Jaa -6 luvulla 3.

$$x^{2}+3x=-2$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Lisää -2 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-1 x=-2$$