Ratkaise 3x^2+8x-3=65

$$3 { x }^{ 2 } +8x-3=65$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{2 \sqrt{55} - 4}{3} \approx 3,610798991$$

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}\approx -6,277465658$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

Vähennä 65 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+8x-3-65=65-65$$

Kun luku 65 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+8x-3-65=0$$

Vähennä 65 luvusta -3.

$$3x^{2}+8x-68=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 8 ja c luvulla -68 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -68.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+816}}{2\times 3}$$

Lisää 64 lukuun 816.

$$x=\frac{-8±\sqrt{880}}{2\times 3}$$

Ota luvun 880 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 4\sqrt{55}.

$$x=\frac{4\sqrt{55}-8}{6}$$

Jaa -8+4\sqrt{55} luvulla 6.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{55} luvusta -8.

$$x=\frac{-4\sqrt{55}-8}{6}$$

Jaa -8-4\sqrt{55} luvulla 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=65-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+8x=65-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 65.

$$3x^{2}+8x=68$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{68}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{68}{3}$$

Jaa \frac{8}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{4}{3}. Lisää sitten \frac{4}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{68}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{4}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{68}{3}+\frac{16}{9}$$

Lisää \frac{68}{3} lukuun \frac{16}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{220}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{220}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{220}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{55}}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2\sqrt{55}}{3}$$

Vähennä \frac{4}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$