Ratkaise 3x^2+5x-1=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x-1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6}\approx 0,180460422$$

$$x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}\approx -1,847127088$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+5x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 5 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun 12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun \sqrt{37}.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{37} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$3x^{2}+5x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{1}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{1}{3}$$

Jaa \frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{6}. Lisää sitten \frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää \frac{1}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{37}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{37}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{37}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{37}}{6}$$

Vähennä \frac{5}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$