Ratkaise 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 138 molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-138. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 5.

$$a=-18 b=23$$

Kirjoita \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right) uudelleen muodossa 3x^{2}+5x-138.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 23.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+5x=138$$

Vähennä 138 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Kun luku 138 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 5 ja c luvulla -138 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Ota luvun 1681 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±41}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Jaa 36 luvulla 6.

$$x=6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±41}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 41 luvusta -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-46}{6} luvulla 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Jaa 138 luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Jaa \frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{6}. Lisää sitten \frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Lisää 46 lukuun \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Vähennä \frac{5}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$