Ratkaise 3x^2+5x+6=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+6=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6}\approx -0,833333333+1,1426091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}\approx -0,833333333-1,1426091i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+5x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 5 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-72}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun -72.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-47}}{2\times 3}$$

Ota luvun -47 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{47} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6} x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+5x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+5x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{6}{3}$$

Jaa -6 luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-2$$

Jaa \frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{6}. Lisää sitten \frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-2+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-2+\frac{25}{36}$$

Lisää -2 lukuun \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{47}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{47}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{47}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{47}i}{6}$$

Vähennä \frac{5}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6} x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$