Ratkaise 3x^2+5x+2=8

$$3 { x }^{ 2 } +5x+2 = 8$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{97}-5}{6}\approx 0,808142967$$

$$x=\frac{-\sqrt{97}-5}{6}\approx -2,474809634$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+5x+2=8$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+5x+2-8=8-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+5x+2-8=0$$

Vähennä 8 luvusta 2.

$$3x^{2}+5x-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 5 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+72}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun 72.

$$x=\frac{-5±\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{97}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{97}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}-5}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{97}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{97} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-5}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{97}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{97}-5}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+2=8$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+5x+2-2=8-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+5x=8-2$$

Vähennä 2 luvusta 8.

$$3x^{2}+5x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{6}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{6}{3}$$

Jaa 6 luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=2$$

Jaa \frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{6}. Lisää sitten \frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=2+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=2+\frac{25}{36}$$

Lisää 2 lukuun \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{97}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{97}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{97}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{97}}{6}$$

Vähennä \frac{5}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{97}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{97}-5}{6}$$