Ratkaise 3x^2+3x+5=0

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,190238071i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 3 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

Lisää 9 lukuun -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

Ota luvun -51 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

Jaa -3+i\sqrt{51} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{51} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

Jaa -3-i\sqrt{51} luvulla 6.

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+3x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Jaa 3 luvulla 3.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

Lisää -\frac{5}{3} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$