Ratkaise 3x^2+2x-3=0

$$3 { x }^{ 2 } +2x-3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3}\approx 0,72075922$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}\approx -1,387425887$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+2x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 2 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\times 3}$$

Lisää 4 lukuun 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\times 3}$$

Ota luvun 40 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{6}$$

Jaa -2+2\sqrt{10} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{10} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{6}$$

Jaa -2-2\sqrt{10} luvulla 6.

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$3x^{2}+2x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{3}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{3}{3}$$

Jaa 3 luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=1$$

Jaa \frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{3}. Lisää sitten \frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Lisää 1 lukuun \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Vähennä \frac{1}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$