Ratkaise 3x^2+2x+15=9

$$3 { x }^{ 2 } +2x+15=9$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}\approx -0,333333333+1,374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}\approx -0,333333333-1,374368542i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+2x+15-9=9-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+2x+15-9=0$$

Vähennä 9 luvusta 15.

$$3x^{2}+2x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 2 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 3}$$

Lisää 4 lukuun -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

Ota luvun -68 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{6}$$

Jaa -2+2i\sqrt{17} luvulla 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{17} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{6}$$

Jaa -2-2i\sqrt{17} luvulla 6.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+2x+15-15=9-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+2x=9-15$$

Vähennä 15 luvusta 9.

$$3x^{2}+2x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{6}{3}$$

Jaa -6 luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-2$$

Jaa \frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{3}. Lisää sitten \frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-2+\frac{1}{9}$$

Lisää -2 lukuun \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{17}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

Vähennä \frac{1}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$