Ratkaise 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx+10. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 17.

$$a=2 b=15$$

Kirjoita \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right) uudelleen muodossa 3x^{2}+17x+10.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 5 toisessa ryhmässä.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 3x+2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 3x+2=0 ja x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 17 ja c luvulla 10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Korota 17 neliöön.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Lisää 289 lukuun -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-17±13}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -17 lukuun 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{6} luvulla 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-17±13}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Jaa -30 luvulla 6.

$$x=-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Jaa \frac{17}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{17}{6}. Lisää sitten \frac{17}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{17}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Lisää -\frac{10}{3} lukuun \frac{289}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Vähennä \frac{17}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$