Ratkaise 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Lisää 24 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Kun luku -24 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Vähennä -24 luvusta 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 11 ja c luvulla 24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Lisää 121 lukuun -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Ota luvun -167 neliöjuuri.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{167} luvusta -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Jaa -24 luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Jaa \frac{11}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{11}{6}. Lisää sitten \frac{11}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{11}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Lisää -8 lukuun \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Vähennä \frac{11}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$