Ratkaise 2x-3xx=9

$$2x-3xx=9$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,699673171i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}\approx 0,333333333+1,699673171i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$2x-3x^{2}=9$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta.

$$2x-3x^{2}-9=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}+2x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 2 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\left(-9\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\left(-9\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\left(-9\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-108}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 4 lukuun -108.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-104}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun -104 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{26}i}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{26}i}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{26}i}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i\sqrt{26}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{26}i}{-6}$$

Jaa -2+2i\sqrt{26} luvulla -6.

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{26}i}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{26} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i-2}{-6}$$

Jaa -2-2i\sqrt{26} luvulla -6.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$2x-3x^{2}=9$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+2x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=\frac{9}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=\frac{9}{-3}$$

Jaa 2 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{-3}$$

Jaa 9 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-3$$

Jaa -\frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{3}. Lisää sitten -\frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-3+\frac{1}{9}$$

Lisää -3 lukuun \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{26}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{26}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{26}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{26}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{26}i}{3}$$

Lisää \frac{1}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$