Ratkaise 2x-2x^2=12

$$2x-2 { x }^{ 2 } = 12$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}\approx 0,5+2,397915762i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}\approx 0,5-2,397915762i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2x^{2}+2x-12=12-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-2x^{2}+2x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 2 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-96}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 4 lukuun -96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-92}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun -92 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{23}i}{-4}$$

Jaa -2+2i\sqrt{23} luvulla -4.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{23} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i-2}{-4}$$

Jaa -2-2i\sqrt{23} luvulla -4.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=\frac{12}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=\frac{12}{-2}$$

Jaa 2 luvulla -2.

$$x^{2}-x=\frac{12}{-2}$$

Jaa 12 luvulla -2.

$$x^{2}-x=-6$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-6+\frac{1}{4}$$

Lisää -6 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{23}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$