Ratkaise 2x(x+3)=5

$$2x(x+3)=5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{19}-3}{2}\approx 0,679449472$$

$$x=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}\approx -3,679449472$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}+6x=5$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+6x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 6 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+40}}{2\times 2}$$

Lisää 36 lukuun 40.

$$x=\frac{-6±\sqrt{76}}{2\times 2}$$

Ota luvun 76 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{19}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{19}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{19}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-6}{4}$$

Jaa -6+2\sqrt{19} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{19}-3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{19}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{19} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-6}{4}$$

Jaa -6-2\sqrt{19} luvulla 4.

$$x=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{19}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}+6x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{5}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{5}{2}$$

Jaa 6 luvulla 2.

$$x^{2}+3x=\frac{5}{2}$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}+\frac{9}{4}$$

Lisää \frac{5}{2} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{19}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{19}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{19}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}$$