Ratkaise 2x(91+2-2x)=1080

$$2x(91+2-2x)=1080$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{481} + 93}{4} \approx 39,69878415$$

$$x = \frac{93 - 3 \sqrt{481}}{4} \approx 6,80121585$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 93 laskemalla yhteen 91 ja 2.

$$2x\left(93-2x\right)=1080$$

Laske lukujen 2x ja 93-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$186x-4x^{2}=1080$$

Vähennä 1080 molemmilta puolilta.

$$186x-4x^{2}-1080=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+186x-1080=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 186 ja c luvulla -1080 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-186±\sqrt{186^{2}-4\left(-4\right)\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 186 neliöön.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596-4\left(-4\right)\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596+16\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja -1080.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596-17280}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 34596 lukuun -17280.

$$x=\frac{-186±\sqrt{17316}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun 17316 neliöjuuri.

$$x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -186 lukuun 6\sqrt{481}.

$$x=\frac{6\sqrt{481}-186}{-8}$$

Jaa -186+6\sqrt{481} luvulla -8.

$$x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{481} luvusta -186.

$$x=\frac{-6\sqrt{481}-186}{-8}$$

Jaa -186-6\sqrt{481} luvulla -8.

$$x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4} x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 93 laskemalla yhteen 91 ja 2.

$$2x\left(93-2x\right)=1080$$

Laske lukujen 2x ja 93-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$186x-4x^{2}=1080$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+186x=1080$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+186x}{-4}=\frac{1080}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{186}{-4}x=\frac{1080}{-4}$$

Supista murtoluku \frac{186}{-4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x=\frac{1080}{-4}$$

Jaa 1080 luvulla -4.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x=-270$$

Jaa -\frac{93}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{93}{4}. Lisää sitten -\frac{93}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\left(-\frac{93}{4}\right)^{2}=-270+\left(-\frac{93}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{93}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}=-270+\frac{8649}{16}$$

Lisää -270 lukuun \frac{8649}{16}.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}=\frac{4329}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{93}{4}\right)^{2}=\frac{4329}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{93}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4329}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{93}{4}=\frac{3\sqrt{481}}{4} x-\frac{93}{4}=-\frac{3\sqrt{481}}{4}$$

Lisää \frac{93}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4} x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4}$$