Ratkaise 2x(38-2x)=180

$$2x(38-2x)=180$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{181} + 19}{2} \approx 16,226812024$$

$$x = \frac{19 - \sqrt{181}}{2} \approx 2,773187976$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x ja 38-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$76x-4x^{2}=180$$

Vähennä 180 molemmilta puolilta.

$$76x-4x^{2}-180=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+76x-180=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 76 ja c luvulla -180 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-76±\sqrt{76^{2}-4\left(-4\right)\left(-180\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 76 neliöön.

$$x=\frac{-76±\sqrt{5776-4\left(-4\right)\left(-180\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-76±\sqrt{5776+16\left(-180\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja -180.

$$x=\frac{-76±\sqrt{5776-2880}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 5776 lukuun -2880.

$$x=\frac{-76±\sqrt{2896}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun 2896 neliöjuuri.

$$x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -76 lukuun 4\sqrt{181}.

$$x=\frac{4\sqrt{181}-76}{-8}$$

Jaa -76+4\sqrt{181} luvulla -8.

$$x=\frac{19-\sqrt{181}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{181} luvusta -76.

$$x=\frac{-4\sqrt{181}-76}{-8}$$

Jaa -76-4\sqrt{181} luvulla -8.

$$x=\frac{\sqrt{181}+19}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{19-\sqrt{181}}{2} x=\frac{\sqrt{181}+19}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x ja 38-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$76x-4x^{2}=180$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+76x=180$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+76x}{-4}=\frac{180}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{76}{-4}x=\frac{180}{-4}$$

Jaa 76 luvulla -4.

$$x^{2}-19x=\frac{180}{-4}$$

Jaa 180 luvulla -4.

$$x^{2}-19x=-45$$

Jaa -19 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{19}{2}. Lisää sitten -\frac{19}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-19x+\left(-\frac{19}{2}\right)^{2}=-45+\left(-\frac{19}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{19}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-19x+\frac{361}{4}=-45+\frac{361}{4}$$

Lisää -45 lukuun \frac{361}{4}.

$$x^{2}-19x+\frac{361}{4}=\frac{181}{4}$$

Jaa x^{2}-19x+\frac{361}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{2}\right)^{2}=\frac{181}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{181}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{19}{2}=\frac{\sqrt{181}}{2} x-\frac{19}{2}=-\frac{\sqrt{181}}{2}$$

Lisää \frac{19}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{181}+19}{2} x=\frac{19-\sqrt{181}}{2}$$