Ratkaise 2x(12-2x)=40

$$2x(12-2x)=40$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=3+i$$

$$x=3-i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x ja 12-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$24x-4x^{2}=40$$

Vähennä 40 molemmilta puolilta.

$$24x-4x^{2}-40=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+24x-40=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 24 ja c luvulla -40 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\left(-4\right)\left(-40\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 24 neliöön.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\left(-4\right)\left(-40\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+16\left(-40\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja -40.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-640}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 576 lukuun -640.

$$x=\frac{-24±\sqrt{-64}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun -64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-24±8i}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-24±8i}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24±8i}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -24 lukuun 8i.

$$x=\frac{-24+8i}{-8}$$

Jaa -24+8i luvulla -8.

$$x=3-i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24±8i}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i luvusta -24.

$$x=\frac{-24-8i}{-8}$$

Jaa -24-8i luvulla -8.

$$x=3+i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3-i x=3+i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x ja 12-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$24x-4x^{2}=40$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+24x=40$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+24x}{-4}=\frac{40}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{24}{-4}x=\frac{40}{-4}$$

Jaa 24 luvulla -4.

$$x^{2}-6x=\frac{40}{-4}$$

Jaa 40 luvulla -4.

$$x^{2}-6x=-10$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-10+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x^{2}-6x+9=-10+9$$

Lisää -10 lukuun 9.

$$x^{2}-6x+9=-1$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Sievennä.

$$x-3=i x-3=-i$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3+i x=3-i$$