Ratkaise 29500x^2-7644x=40248

$$29500 x ^ { 2 } - 7644 x = 40248$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{9 \sqrt{3709641} + 1911}{14750} \approx 1,304771899$$

$$x=\frac{1911-9\sqrt{3709641}}{14750}\approx -1,045653255$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$29500x^{2}-7644x=40248$$

Vähennä 40248 yhtälön molemmilta puolilta.

$$29500x^{2}-7644x-40248=40248-40248$$

Kun luku 40248 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$29500x^{2}-7644x-40248=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 29500, b luvulla -7644 ja c luvulla -40248 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7644\right)±\sqrt{\left(-7644\right)^{2}-4\times 29500\left(-40248\right)}}{2\times 29500}$$

Korota -7644 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7644\right)±\sqrt{58430736-4\times 29500\left(-40248\right)}}{2\times 29500}$$

Kerro -4 ja 29500.

$$x=\frac{-\left(-7644\right)±\sqrt{58430736-118000\left(-40248\right)}}{2\times 29500}$$

Kerro -118000 ja -40248.

$$x=\frac{-\left(-7644\right)±\sqrt{58430736+4749264000}}{2\times 29500}$$

Lisää 58430736 lukuun 4749264000.

$$x=\frac{-\left(-7644\right)±\sqrt{4807694736}}{2\times 29500}$$

Ota luvun 4807694736 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7644\right)±36\sqrt{3709641}}{2\times 29500}$$

Luvun -7644 vastaluku on 7644.

$$x=\frac{7644±36\sqrt{3709641}}{2\times 29500}$$

Kerro 2 ja 29500.

$$x=\frac{7644±36\sqrt{3709641}}{59000}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7644±36\sqrt{3709641}}{59000}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7644 lukuun 36\sqrt{3709641}.

$$x=\frac{36\sqrt{3709641}+7644}{59000}$$

Jaa 7644+36\sqrt{3709641} luvulla 59000.

$$x=\frac{9\sqrt{3709641}+1911}{14750}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7644±36\sqrt{3709641}}{59000}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 36\sqrt{3709641} luvusta 7644.

$$x=\frac{7644-36\sqrt{3709641}}{59000}$$

Jaa 7644-36\sqrt{3709641} luvulla 59000.

$$x=\frac{1911-9\sqrt{3709641}}{14750}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9\sqrt{3709641}+1911}{14750} x=\frac{1911-9\sqrt{3709641}}{14750}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$29500x^{2}-7644x=40248$$

Jaa molemmat puolet luvulla 29500.

$$\frac{29500x^{2}-7644x}{29500}=\frac{40248}{29500}$$

Jakaminen luvulla 29500 kumoaa kertomisen luvulla 29500.

$$x^{2}+\left(-\frac{7644}{29500}\right)x=\frac{40248}{29500}$$

Supista murtoluku \frac{-7644}{29500} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{1911}{7375}x=\frac{40248}{29500}$$

Supista murtoluku \frac{40248}{29500} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{1911}{7375}x=\frac{10062}{7375}$$

Jaa -\frac{1911}{7375} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1911}{14750}. Lisää sitten -\frac{1911}{14750}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1911}{7375}x+\left(-\frac{1911}{14750}\right)^{2}=\frac{10062}{7375}+\left(-\frac{1911}{14750}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1911}{14750} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1911}{7375}x+\frac{3651921}{217562500}=\frac{10062}{7375}+\frac{3651921}{217562500}$$

Lisää \frac{10062}{7375} lukuun \frac{3651921}{217562500} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1911}{7375}x+\frac{3651921}{217562500}=\frac{300480921}{217562500}$$

Jaa x^{2}-\frac{1911}{7375}x+\frac{3651921}{217562500} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1911}{14750}\right)^{2}=\frac{300480921}{217562500}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1911}{14750}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{300480921}{217562500}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1911}{14750}=\frac{9\sqrt{3709641}}{14750} x-\frac{1911}{14750}=-\frac{9\sqrt{3709641}}{14750}$$

Lisää \frac{1911}{14750} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{9\sqrt{3709641}+1911}{14750} x=\frac{1911-9\sqrt{3709641}}{14750}$$