Ratkaise 29x^2+8x+7=0

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0,137931034+0,471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0,137931034-0,471544632i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 29, b luvulla 8 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Kerro -4 ja 29.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

Kerro -116 ja 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

Lisää 64 lukuun -812.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

Ota luvun -748 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

Kerro 2 ja 29.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 2i\sqrt{187}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

Jaa -8+2i\sqrt{187} luvulla 58.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{187} luvusta -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

Jaa -8-2i\sqrt{187} luvulla 58.

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$29x^{2}+8x=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 29.

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

Jakaminen luvulla 29 kumoaa kertomisen luvulla 29.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

Jaa \frac{8}{29} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{4}{29}. Lisää sitten \frac{4}{29}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

Korota \frac{4}{29} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

Lisää -\frac{7}{29} lukuun \frac{16}{841} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

Jaa x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

Vähennä \frac{4}{29} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$