Ratkaise 28k^2+k+1=0

$$28 k ^ { 2 } + k + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan k suhteen

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56}\approx -0,017857143+0,188136674i$$

$$k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}\approx -0,017857143-0,188136674i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$28k^{2}+k+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 28, b luvulla 1 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28}}{2\times 28}$$

Korota 1 neliöön.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28}}{2\times 28}$$

Kerro -4 ja 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112}}{2\times 28}$$

Lisää 1 lukuun -112.

$$k=\frac{-1±\sqrt{-111}}{2\times 28}$$

Ota luvun -111 neliöjuuri.

$$k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{2\times 28}$$

Kerro 2 ja 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56}$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun i\sqrt{111}.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56}$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{111} luvusta -1.

$$k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56} k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$28k^{2}+k+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$28k^{2}+k+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$28k^{2}+k=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 28.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=-\frac{1}{28}$$

Jakaminen luvulla 28 kumoaa kertomisen luvulla 28.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=-\frac{1}{28}$$

Jaa \frac{1}{28} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{56}. Lisää sitten \frac{1}{56}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{56} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{3136}$$

Lisää -\frac{1}{28} lukuun \frac{1}{3136} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=-\frac{111}{3136}$$

Jaa k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=-\frac{111}{3136}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{3136}}$$

Sievennä.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{\sqrt{111}i}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{\sqrt{111}i}{56}$$

Vähennä \frac{1}{56} yhtälön molemmilta puolilta.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56} k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$