Ratkaise 27x^2+59x-21=0

$$27 { x }^{ 2 } +59x-21=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}\approx 0,311521488$$

$$x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}\approx -2,496706673$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$27x^{2}+59x-21=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 27, b luvulla 59 ja c luvulla -21 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Korota 59 neliöön.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Kerro -4 ja 27.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-108\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

Kerro -108 ja -21.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481+2268}}{2\times 27}$$

Lisää 3481 lukuun 2268.

$$x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{2\times 27}$$

Kerro 2 ja 27.

$$x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -59 lukuun \sqrt{5749}.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{5749} luvusta -59.

$$x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+59x-21=0$$

Lisää 21 yhtälön kummallekin puolelle.

$$27x^{2}+59x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Kun luku -21 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$27x^{2}+59x=-\left(-21\right)$$

Vähennä -21 luvusta 0.

$$27x^{2}+59x=21$$

Jaa molemmat puolet luvulla 27.

$$\frac{27x^{2}+59x}{27}=\frac{21}{27}$$

Jakaminen luvulla 27 kumoaa kertomisen luvulla 27.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{21}{27}$$

Supista murtoluku \frac{21}{27} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{7}{9}$$

Jaa \frac{59}{27} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{59}{54}. Lisää sitten \frac{59}{54}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{7}{9}+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}$$

Korota \frac{59}{54} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{7}{9}+\frac{3481}{2916}$$

Lisää \frac{7}{9} lukuun \frac{3481}{2916} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{5749}{2916}$$

Jaa x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{5749}{2916}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5749}{2916}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{59}{54}=\frac{\sqrt{5749}}{54} x+\frac{59}{54}=-\frac{\sqrt{5749}}{54}$$

Vähennä \frac{59}{54} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$