Ratkaise 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 27, b luvulla 33 ja c luvulla -120 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Korota 33 neliöön.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Kerro -4 ja 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Kerro -108 ja -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Lisää 1089 lukuun 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Ota luvun 14049 neliöjuuri.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Kerro 2 ja 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -33 lukuun 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Jaa -33+3\sqrt{1561} luvulla 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{1561} luvusta -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Jaa -33-3\sqrt{1561} luvulla 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Lisää 120 yhtälön kummallekin puolelle.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Kun luku -120 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Vähennä -120 luvusta 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Jaa molemmat puolet luvulla 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

Jakaminen luvulla 27 kumoaa kertomisen luvulla 27.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Supista murtoluku \frac{33}{27} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Supista murtoluku \frac{120}{27} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Jaa \frac{11}{9} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{11}{18}. Lisää sitten \frac{11}{18}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Korota \frac{11}{18} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Lisää \frac{40}{9} lukuun \frac{121}{324} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Jaa x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Vähennä \frac{11}{18} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$