Ratkaise 27=4n^2+12n

$$27 = 4 n ^ { 2 } + 12 n$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$n = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$4n^{2}+12n=27$$

Vähennä 27 molemmilta puolilta.

$$4n^{2}+12n-27=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4n^{2}+an+bn-27. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 12.

$$a=-6 b=18$$

Kirjoita \left(4n^{2}-6n\right)+\left(18n-27\right) uudelleen muodossa 4n^{2}+12n-27.

$$\left(4n^{2}-6n\right)+\left(18n-27\right)$$

Jaa 2n toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 9.

$$2n\left(2n-3\right)+9\left(2n-3\right)$$

Jaa yleinen termi 2n-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2n-3\right)\left(2n+9\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2n-3=0 ja 2n+9=0.

$$n=\frac{3}{2} n=-\frac{9}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$4n^{2}+12n=27$$

Vähennä 27 molemmilta puolilta.

$$4n^{2}+12n-27=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 12 ja c luvulla -27 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Korota 12 neliöön.

$$n=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$n=\frac{-12±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -27.

$$n=\frac{-12±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Lisää 144 lukuun 432.

$$n=\frac{-12±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Ota luvun 576 neliöjuuri.

$$n=\frac{-12±24}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$n=\frac{-12±24}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-12±24}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 24.

$$n=\frac{12}{8}$$

Supista murtoluku \frac{12}{8} luvulla 4.

$$n=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-12±24}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 24 luvusta -12.

$$n=-\frac{36}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-36}{8} luvulla 4.

$$n=-\frac{9}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{3}{2} n=-\frac{9}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$4n^{2}+12n=27$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4n^{2}+12n}{4}=\frac{27}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$n^{2}+\frac{12}{4}n=\frac{27}{4}$$

Jaa 12 luvulla 4.

$$n^{2}+3n=\frac{27}{4}$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}+3n+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}+3n+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Lisää \frac{27}{4} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$n^{2}+3n+\frac{9}{4}=9$$

Jaa n^{2}+3n+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sievennä.

$$n+\frac{3}{2}=3 n+\frac{3}{2}=-3$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$n=\frac{3}{2} n=-\frac{9}{2}$$