Ratkaise 27=22t-5t^2

$$27 = 22 t - 5 t ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}\approx 2,2+0,748331477i$$

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}\approx 2,2-0,748331477i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$22t-5t^{2}=27$$

Vähennä 27 molemmilta puolilta.

$$22t-5t^{2}-27=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-5t^{2}+22t-27=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -5, b luvulla 22 ja c luvulla -27 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-5\right)\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Korota 22 neliöön.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-5\right)\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro -4 ja -5.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484+20\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 20 ja -27.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-540}}{2\left(-5\right)}$$

Lisää 484 lukuun -540.

$$t=\frac{-22±\sqrt{-56}}{2\left(-5\right)}$$

Ota luvun -56 neliöjuuri.

$$t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 2 ja -5.

$$t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -22 lukuun 2i\sqrt{14}.

$$t=\frac{-22+2\sqrt{14}i}{-10}$$

Jaa -22+2i\sqrt{14} luvulla -10.

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{14} luvusta -22.

$$t=\frac{-2\sqrt{14}i-22}{-10}$$

Jaa -22-2i\sqrt{14} luvulla -10.

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5} t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$22t-5t^{2}=27$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-5t^{2}+22t=27$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-5t^{2}+22t}{-5}=\frac{27}{-5}$$

Jakaminen luvulla -5 kumoaa kertomisen luvulla -5.

$$t^{2}+\frac{22}{-5}t=\frac{27}{-5}$$

Jaa 22 luvulla -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=\frac{27}{-5}$$

Jaa 27 luvulla -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=-\frac{27}{5}$$

Jaa -\frac{22}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{5}. Lisää sitten -\frac{11}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{27}{5}+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{27}{5}+\frac{121}{25}$$

Lisää -\frac{27}{5} lukuun \frac{121}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{14}{25}$$

Jaa t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{14}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{25}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{11}{5}=\frac{\sqrt{14}i}{5} t-\frac{11}{5}=-\frac{\sqrt{14}i}{5}$$

Lisää \frac{11}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5} t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}$$