Ratkaise 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1,8+0,2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1,8-0,2i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla -90 ja c luvulla 82 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Korota -90 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

Lisää 8100 lukuun -8200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

Ota luvun -100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

Luvun -90 vastaluku on 90.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{90±10i}{50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 90 lukuun 10i.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

Jaa 90+10i luvulla 50.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{90±10i}{50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10i luvusta 90.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

Jaa 90-10i luvulla 50.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Vähennä 82 yhtälön molemmilta puolilta.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

Kun luku 82 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$25x^{2}-90x=-82$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

Supista murtoluku \frac{-90}{25} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

Jaa -\frac{18}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{5}. Lisää sitten -\frac{9}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

Lisää -\frac{82}{25} lukuun \frac{81}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

Lisää \frac{9}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$