Ratkaise 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 25x^{2}+ax+bx+16. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -40.

$$a=-20 b=-20$$

Kirjoita \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right) uudelleen muodossa 25x^{2}-40x+16.

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Ota 5x tekijäksi ensimmäisessä ja -4 toisessa ryhmässä.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 5x-4 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Kirjoita uudelleen binomin neliönä.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Löydät yhtälön ratkaisun ratkaisemalla yhtälön 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla -40 ja c luvulla 16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Korota -40 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Lisää 1600 lukuun -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Luvun -40 vastaluku on 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Supista murtoluku \frac{40}{50} luvulla 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Vähennä 16 yhtälön molemmilta puolilta.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Kun luku 16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Supista murtoluku \frac{-40}{25} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Jaa -\frac{8}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{5}. Lisää sitten -\frac{4}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Lisää -\frac{16}{25} lukuun \frac{16}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Lisää \frac{4}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu. Ratkaisut ovat samat.

$$x=\frac{4}{5}$$