Ratkaise 25x^2-19x-3=0

$$25 x ^ { 2 } - 19 x - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}\approx 0,894198405$$

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}\approx -0,134198405$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$25x^{2}-19x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla -19 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Korota -19 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-100\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+300}}{2\times 25}$$

Lisää 361 lukuun 300.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

Luvun -19 vastaluku on 19.

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{19±\sqrt{661}}{50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 19 lukuun \sqrt{661}.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{19±\sqrt{661}}{50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{661} luvusta 19.

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-19x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$25x^{2}-19x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$25x^{2}-19x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$25x^{2}-19x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25x^{2}-19x}{25}=\frac{3}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x=\frac{3}{25}$$

Jaa -\frac{19}{25} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{19}{50}. Lisää sitten -\frac{19}{50}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{3}{25}+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}$$

Korota -\frac{19}{50} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{3}{25}+\frac{361}{2500}$$

Lisää \frac{3}{25} lukuun \frac{361}{2500} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{661}{2500}$$

Jaa x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{661}{2500}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{661}{2500}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{19}{50}=\frac{\sqrt{661}}{50} x-\frac{19}{50}=-\frac{\sqrt{661}}{50}$$

Lisää \frac{19}{50} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$