Ratkaise 25x^2-102x+2^2=0

$$25 x ^ { 2 } - 102 x + 2 ^ { 2 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{2501} + 51}{25} \approx 4,04039996$$

$$x=\frac{51-\sqrt{2501}}{25}\approx 0,03960004$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$25x^{2}-102x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla -102 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 25\times 4}}{2\times 25}$$

Korota -102 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 25\times 4}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-100\times 4}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-400}}{2\times 25}$$

Lisää 10404 lukuun -400.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10004}}{2\times 25}$$

Ota luvun 10004 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{2501}}{2\times 25}$$

Luvun -102 vastaluku on 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{2501}}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$x=\frac{102±2\sqrt{2501}}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{102±2\sqrt{2501}}{50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 102 lukuun 2\sqrt{2501}.

$$x=\frac{2\sqrt{2501}+102}{50}$$

Jaa 102+2\sqrt{2501} luvulla 50.

$$x=\frac{\sqrt{2501}+51}{25}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{102±2\sqrt{2501}}{50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{2501} luvusta 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{2501}}{50}$$

Jaa 102-2\sqrt{2501} luvulla 50.

$$x=\frac{51-\sqrt{2501}}{25}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{2501}+51}{25} x=\frac{51-\sqrt{2501}}{25}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$25x^{2}-102x+4=0$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$25x^{2}-102x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25x^{2}-102x}{25}=-\frac{4}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$x^{2}-\frac{102}{25}x=-\frac{4}{25}$$

Jaa -\frac{102}{25} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{51}{25}. Lisää sitten -\frac{51}{25}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{102}{25}x+\left(-\frac{51}{25}\right)^{2}=-\frac{4}{25}+\left(-\frac{51}{25}\right)^{2}$$

Korota -\frac{51}{25} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{102}{25}x+\frac{2601}{625}=-\frac{4}{25}+\frac{2601}{625}$$

Lisää -\frac{4}{25} lukuun \frac{2601}{625} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{102}{25}x+\frac{2601}{625}=\frac{2501}{625}$$

Jaa x^{2}-\frac{102}{25}x+\frac{2601}{625} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{51}{25}\right)^{2}=\frac{2501}{625}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{51}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2501}{625}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{51}{25}=\frac{\sqrt{2501}}{25} x-\frac{51}{25}=-\frac{\sqrt{2501}}{25}$$

Lisää \frac{51}{25} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{2501}+51}{25} x=\frac{51-\sqrt{2501}}{25}$$